Module de relaxation

En rhéologie, le module de relaxation permet de rendre compte de la relaxation de contrainte, la déformation étant maintenue constante.

Introduction

La contrainte $\sigma$ à un temps $t$ ne dépend pour un fluide newtonien que du taux de déformation à ce même temps :

\sigma (t)=\eta \ {\dot {\gamma }}(t)

Par contre, pour un fluide viscoélastique, cette même contrainte va dépendre de l'histoire des taux de déformation via le module de relaxation $G(t)$ (ou $E(t)$ ) :

\sigma (t)=\int _{-\infty }^{t}G(t-t'){\dot {\gamma }}(t')dt'

Physiquement, on s'attend à ce que cette fonction tende vers 0 lorsque t tend vers l'infini ; c'est la perte de mémoire des états les plus anciens.

Dans le cadre du modèle de Maxwell, on montre que le module de relaxation $G(t)$ vaut :

G(t)=G_{0}\ e^{-t/\tau }

où $\tau ={\frac {\eta }{E}}$ est le temps de relaxation du modèle de Maxwell.

Annexe : grandeurs complexes

Module complexe

Expérimentalement, on applique en DMA des déformations sinusoïdales. On définit une déformation complexe :

\gamma (t)=\gamma _{0}\ e^{i\omega t}

ce qui amène à une contrainte complexe :

\sigma (t)=i\omega \gamma (t)\int _{0}^{\infty }G(x)exp(-i\omega x)dx=G^{*}(t)\gamma (t)

avec :

x=t-t'

;

G^{*}

, le module de cisaillement complexe. Celui-ci se décompose comme la somme d'une partie réelle et d'une partie imaginaire :

G^{*}(\omega )=G'(\omega ) iG''(\omega )

où :

G'

est le module de conservation ;

G''

est le module de perte.

Le facteur de perte indique la capacité d'une matière viscoélastique à dissiper de l'énergie mécanique en chaleur. Il est donné par l'équation :

\tan \delta ={\frac {G''}{G'}}

où $\delta$ est l'angle de phase ou de perte.

Une valeur faible du facteur de perte traduit un comportement élastique marqué : le matériau étant soumis à une sollicitation, la dissipation d'énergie par frottement interne est faible.